हल:
उत्तर: \(\mathbf{7x + 2}\)
हल:
उत्तर: \(\mathbf{2x^2 - x + 1}\)
हल:
\begin{align*} & (x^2 + 2x - 3)(x^2 + x - 2) \\ &= x^2(x^2 + x - 2) + 2x(x^2 + x - 2) - 3(x^2 + x - 2) \\ &= (x^4 + x^3 - 2x^2) + (2x^3 + 2x^2 - 4x) + (-3x^2 - 3x + 6) \\ &= x^4 + (x^3 + 2x^3) + (-2x^2 + 2x^2 - 3x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6 \end{align*}उत्तर: \(\mathbf{x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6}\)
हल:
\begin{align*} &\quad \frac{2x^3 + 12x + 6}{2x} \\ &= \frac{2x^3}{2x} + \frac{12x}{2x} + \frac{6}{2x} \\ &= x^2 + 6 + \frac{3}{x} \end{align*}उत्तर: \(\mathbf{x^2 + 6 + \frac{3}{x}}\)
हल:
दिया है:
तय की गई दूरी = \(y\) किमी.
लिया गया समय = 5 घंटे
हम जानते हैं, चाल = दूरी / समय
चाल = \(\frac{y}{5}\)
उत्तर: \(\mathbf{\frac{y}{5}}\) किमी./घंटा
हल:
दिया है:
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल = \(65x^2\) वर्गमीटर
बगीचे की चौड़ाई = \(5x\) मीटर
हम जानते हैं, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई \(\times\) चौड़ाई
लंबाई = क्षेत्रफल / चौड़ाई
लंबाई = \(\frac{65x^2}{5x}\)
लंबाई = \(13x\) मीटर
उत्तर: \(\mathbf{13x}\) मीटर
हल:
दिया है:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(4x^2 + 4\) वर्ग इकाई
आधार की लंबाई = \(2x\) इकाई
हम जानते हैं, त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times\) आधार \(\times\) शीर्षलंब
शीर्षलंब = 2 \(\times\) क्षेत्रफल / आधार
शीर्षलंब = \(\frac{2(4x^2 + 4)}{2x}\)
शीर्षलंब = \(\frac{4x^2 + 4}{x}\)
शीर्षलंब = \(4x + \frac{4}{x}\) इकाई
उत्तर: \(\mathbf{4x + \frac{4}{x}}\) इकाई
हल:
| \( (x + 1) \) | \( x^2 - x + 1 \) | \( x - 2 \) |
| \( x^2 + x \) | ||
| \( (-)\quad (-) \) | ||
| \( -2x + 1 \) | ||
| \( -2x - 2 \) | ||
| \( (+)\quad (+) \) | ||
| \( 3 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{x - 2}\), शेषफल \(\mathbf{3}\)
हल:
| \( (x + 1) \) | \( x^2 - x + 1 \) | \( x^2 + x \quad (- \quad -) \) | \( x - 2 \) |
| \( -2x + 1 \) | \( -2x - 2 \quad (+ \quad +) \) | ||
| \( 3 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{x - 2}\), शेषफल \(\mathbf{3}\)
हल:
| \( (2x - 1) \) | \( 6x^2 - 5x + 1 \) | \( 3x - 1 \) |
| \( 6x^2 - 3x \) | ||
| \( (-)\quad (+) \) | ||
| \( -2x + 1 \) | ||
| \( -2x + 1 \) | ||
| \( (+)\quad (-) \) | ||
| \( 0 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{3x - 1}\), शेषफल \(\mathbf{0}\)
हल:
| \( (x + 1) \) | \( x^2 - x + 1 \) | \( x - 2 \) |
| \( x^2 + x \) | ||
| \( (-)\quad (-) \) | ||
| \( -2x + 1 \) | ||
| \( -2x - 2 \) | ||
| \( (+)\quad (+) \) | ||
| \( 3 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{x - 2}\), शेषफल \(\mathbf{3}\)
हल:
| \( (x^2 + 4x + 2) \) | \( x^5 + 0x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 5x + 3 \) | \( x^3 - 4x^2 + 19x - 65 \) |
| \( x^5 + 4x^4 + 2x^3 \) | ||
| \( (-)\quad (-)\quad (-) \) | ||
| \( -4x^4 + 3x^3 + 3x^2 \) | ||
| \( -4x^4 - 16x^3 - 8x^2 \) | ||
| \( (+)\quad (+)\quad (+) \) | ||
| \( 19x^3 + 11x^2 + 5x \) | ||
| \( 19x^3 + 76x^2 + 38x \) | ||
| \( (-)\quad (-)\quad (-) \) | ||
| \( -65x^2 - 33x + 3 \) | ||
| \( -65x^2 - 260x - 130 \) | ||
| \( (+)\quad (+)\quad (+) \) | ||
| \( 227x + 133 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{x^3 - 4x^2 + 19x - 65}\), शेषफल \(\mathbf{227x + 133}\)
हल:
| \( (x - y) \) | \( x^2 - 2xy + y^2 \) | \( x - y \) |
| \( x^2 - xy \) | ||
| \( (-)\quad (+) \) | ||
| \( -xy + y^2 \) | ||
| \( -xy + y^2 \) | ||
| \( (+)\quad (-) \) | ||
| \( 0 \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{x - y}\), शेषफल \(\mathbf{0}\)
हल:
| \( (a - b) \) | \( a \) | \( 1 \) |
| \( a - b \) | ||
| \( (-)\quad (+) \) | ||
| \( b \) |
उत्तर: भागफल \(\mathbf{1}\), शेषफल \(\mathbf{b}\)
हल:
हम जानते हैं कि:
भाज्य = (भाजक \(\times\) भागफल) + शेषफल
दिया है:
भाजक = \(3x^2 - 2x + 2\)
भागफल = \(x + 1\)
शेषफल = \(3\)
भाज्य = \((3x^2 - 2x + 2)(x + 1) + 3\)
भाज्य = \((3x^2(x+1) - 2x(x+1) + 2(x+1)) + 3\)
भाज्य = \((3x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 2x + 2x + 2) + 3\)
भाज्य = \((3x^3 + x^2 + 2) + 3\)
भाज्य = \(3x^3 + x^2 + 5\)
उत्तर: \(\mathbf{3x^3 + x^2 + 5}\)
हल:
हम जानते हैं कि:
भाज्य = (भाजक \(\times\) भागफल) + शेषफल
दिया है:
भाजक = \(4x - 7\)
भागफल = \(x + 1\)
शेषफल = \(0\)
भाज्य = \((4x - 7)(x + 1) + 0\)
भाज्य = \(4x(x + 1) - 7(x + 1)\)
भाज्य = \((4x^2 + 4x) - (7x + 7)\)
भाज्य = \(4x^2 + 4x - 7x - 7\)
भाज्य = \(4x^2 - 3x - 7\)
उत्तर: \(\mathbf{4x^2 - 3x - 7}\)
हल:
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार:
दिया गया बहुपद \(P(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x - 9\)
भाजक = \(x - 1\)
\(x - 1 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 1\) मिलता है।
\(x = 1\) को बहुपद \(P(x)\) में रखने पर:
शेषफल = \(P(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 + 2(1) - 9\)
शेषफल = \(4(1) + 3(1) + 2 - 9\)
शेषफल = \(4 + 3 + 2 - 9\)
शेषफल = \(9 - 9\)
शेषफल = \(0\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{0}\) है। (सिद्ध हुआ)
हल:
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार:
दिया गया बहुपद \(P(x) = x^2 - 5x + 3\)
भाजक = \(x - 3\)
\(x - 3 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 3\) मिलता है।
\(x = 3\) को बहुपद \(P(x)\) में रखने पर:
शेषफल = \(P(3) = (3)^2 - 5(3) + 3\)
शेषफल = \(9 - 15 + 3\)
शेषफल = \(12 - 15\)
शेषफल = \(-3\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{-3}\) है, शून्य नहीं है।
हल:
दिया है:
आयत का क्षेत्रफल = \(45x^2 + 30x\) वर्गमीटर
आयत की चौड़ाई = \(15x\) मीटर
हम जानते हैं, आयत की लंबाई = क्षेत्रफल / चौड़ाई
लंबाई = \(\frac{45x^2 + 30x}{15x}\)
लंबाई = \(\frac{45x^2}{15x} + \frac{30x}{15x}\)
लंबाई = \(3x + 2\) मीटर
उत्तर: \(\mathbf{3x + 2}\) मीटर
हल:
दिया है:
रेखाखण्ड AB की कुल लंबाई = \(28x\) इकाई
भागों की संख्या = 2
प्रत्येक भाग की लंबाई = कुल लंबाई / 2
प्रत्येक भाग की लंबाई = \(\frac{28x}{2}\)
प्रत्येक भाग की लंबाई = \(14x\) इकाई
उत्तर: \(\mathbf{14x}\) इकाई
प्रश्न 1. यदि f(x) का भाजक x + a हो तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार:
भाजक = \(x + a\)
\(x + a = 0\) रखने पर, हमें \(x = -a\) मिलता है।
शेषफल = \(f(-a)\)
दिया गया बहुपद \(f(x) = 2x - a\)
\(x = -a\) रखने पर:
शेषफल = \(f(-a) = 2(-a) - a\)
शेषफल = \(-2a - a\)
शेषफल = \(-3a\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{-3a}\) है।
हल:
शेषफल प्रमेय के अनुसार:
भाजक = \(x + a\), इसलिये \(x = -a\) रखने पर:
शेषफल = \(f(-a)\)
दिया गया बहुपद \(f(x) = x^2 - a^2\)
\(x = -a\) रखने पर:
शेषफल = \(f(-a) = (-a)^2 - a^2\)
शेषफल = \(a^2 - a^2\)
शेषफल = \(0\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{0}\) है।
हल:
शेषफल प्रमेय के अनुसार:
भाजक = \(x + a\), इसलिये \(x = -a\) रखने पर:
शेषफल = \(f(-a)\)
दिया गया बहुपद \(f(x) = x^2 - 2x + 1\)
\(x = -a\) रखने पर:
शेषफल = \(f(-a) = (-a)^2 - 2(-a) + 1\)
शेषफल = \(a^2 + 2a + 1\)
(इसे \((a + 1)^2\) भी लिख सकते हैं)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{a^2 + 2a + 1}\) है।
हल:
हाँ, शेषफल ज्ञात किया जा सकता है।
हम शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग करेंगे।
दिया गया बहुपद \(P(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2\)
नया भाजक = \(x + 2\)
\(x + 2 = 0\) रखने पर, हमें \(x = -2\) मिलता है।
\(x = -2\) को बहुपद \(P(x)\) में रखने पर:
शेषफल = \(P(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) + 2\)
शेषफल = \(2(-8) + 4 + 10 + 2\)
शेषफल = \(-16 + 16\)
शेषफल = \(0\)
उत्तर: हाँ, शेषफल ज्ञात किया जा सकता है। शेषफल \(\mathbf{0}\) है।
हल:
भाग 1: भाजकों में संबंध
हाँ, दोनों भाजकों \((x - 2)\) और \((x + 2)\) में एक खास संबंध है।
वे एक दूसरे के संयुग्मी (conjugates) हैं।
(इनका गुणनफल \( (x-2)(x+2) = x^2 - 4 \) होता है, जो 'दो वर्गों का अंतर' है।)
भाग 2: बिना संबंध के शेषफल
हाँ, यदि भाजकों में कोई संबंध न हो तब भी शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग करके शेषफल ज्ञात किया जा सकता है।
उदाहरण:
माना "उपरोक्त उदाहरण" का बहुपद है:
\(P(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2\)
और एक नया भाजक लेते हैं जिसका \((x-2)\) या \((x+2)\) से कोई संबंध नहीं है, जैसे \(\mathbf{(x - 3)}\)।
शेषफल प्रमेय के अनुसार:
भाजक = \(x - 3\)
\(x - 3 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 3\) मिलता है।
\(x = 3\) को बहुपद \(P(x)\) में रखने पर:
शेषफल = \(P(3) = 2(3)^3 + (3)^2 - 5(3) + 2\)
शेषफल = \(2(27) + 9 - 15 + 2\)
शेषफल = \(54 + 9 - 15 + 2\)
शेषफल = \(65 - 15 = 50\)
उत्तर: हाँ, संबंध है (वे संयुग्मी हैं) और हाँ, बिना संबंध के भी शेषफल ज्ञात किया जा सकता है। उदाहरण के लिये, \(P(x)\) को \((x-3)\) से भाग देने पर शेषफल \(\mathbf{50}\) है।
हल:
15 को 3 से भाग देने पर:
भाज्य = 15
भाजक = 3
भागफल = 5
शेषफल = 0
इसे "उपरोक्त रूप" (भाज्य = (भाजक \(\times\) भागफल) + शेषफल) में लिखने पर:
\(15 = (3 \times 5) + 0\)
\(15 = 15\)
हाँ, इसमें भी "इसी प्रकार का संबंध" मिलता है, क्योंकि यहाँ भी शेषफल शून्य है।
उत्तर: हाँ, संबंध मिलता है (शेषफल \(\mathbf{0}\) है)।
प्रश्न 1. यदि \(p(x) = x^2+3x^2-5x+8\) को निम्नलिखित से भाग करें तो शेषफल प्रमेय की मदद से शेषफल ज्ञात कीजिए
(i) \(x + 1\) (ii) \(2x - 1\) (iii) \(x + 2\)
(iv) \(x - 4\) (v) \(x + \frac{1}{3}\)
हल:
दिया गया बहुपद \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 8\)
भाजक = \(x + 1\)
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(x + 1 = 0\) रखने पर, \(x = -1\)
शेषफल = \(P(-1)\)
\(P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) + 8\)
\(P(-1) = -1 + 3(1) + 5 + 8\)
\(P(-1) = -1 + 3 + 5 + 8\)
\(P(-1) = 15\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{15}\) है।
हल:
भाजक = \(2x - 1\)
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(2x - 1 = 0\) रखने पर, \(x = \frac{1}{2}\)
शेषफल = \(P(\frac{1}{2})\)
\(P(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 + 3(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 8\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + 3(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 8\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} - \frac{5}{2} + 8\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{1 + 6 - 20 + 64}{8}\)
\(P(\frac{1}{2}) = \frac{51}{8}\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{\frac{51}{8}}\) है।
हल:
भाजक = \(x + 2\)
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(x + 2 = 0\) रखने पर, \(x = -2\)
शेषफल = \(P(-2)\)
\(P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 5(-2) + 8\)
\(P(-2) = -8 + 3(4) + 10 + 8\)
\(P(-2) = -8 + 12 + 10 + 8\)
\(P(-2) = 22\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{22}\) है।
हल:
भाजक = \(x - 4\)
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(x - 4 = 0\) रखने पर, \(x = 4\)
शेषफल = \(P(4)\)
\(P(4) = (4)^3 + 3(4)^2 - 5(4) + 8\)
\(P(4) = 64 + 3(16) - 20 + 8\)
\(P(4) = 64 + 48 - 20 + 8\)
\(P(4) = 100\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{100}\) है।
हल:
भाजक = \(x + \frac{1}{3}\)
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(x + \frac{1}{3} = 0\) रखने पर, \(x = -\frac{1}{3}\)
शेषफल = \(P(-\frac{1}{3})\)
\(P(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 + 3(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) + 8\)
\(P(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} + 3(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} + 8\)
\(P(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} + \frac{1}{3} + \frac{5}{3} + 8\)
\(P(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} + \frac{9}{27} + \frac{45}{27} + \frac{216}{27}\)
\(P(-\frac{1}{3}) = \frac{-1 + 9 + 45 + 216}{27} = \frac{269}{27}\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{\frac{269}{27}}\) है।
प्रश्न 2. निम्नलिखित में जाँचिए कि क्या \(g(x), p(x)\) का एक गुणनखण्ड है?
(i) \(g(x) = x - 3\), \(p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)
(ii) \(g(x) = x + 1\), \(p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 1\)
(iii) \(g(x) = x - 1\), \(p(x) = x^3 + 5x^2 - 5x + 1\)
(iv) \(g(x) = x - 1\), \(p(x) = x^3 + 5x^2 - 5x + 1\)
(v) \(g(x) = x + 4\), \(p(x) = x^2 + 2x - 1\)
हल:
गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार:
\(g(x) = x - 3 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 3\) मिलता है।
यदि \(P(3) = 0\) है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड होगा।
\(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)
\(P(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6\)
\(P(3) = 27 - 4(9) + 3 + 6\)
\(P(3) = 27 - 36 + 9\)
\(P(3) = 36 - 36 = 0\)
उत्तर: हाँ, \(g(x)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड है (क्योंकि शेषफल 0 है)।
हल:
\(g(x) = x + 1 = 0\) रखने पर, हमें \(x = -1\) मिलता है।
यदि \(P(-1) = 0\) है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड होगा।
\(P(x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 1\)
\(P(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1\)
\(P(-1) = 2(-1) + 1 + 2 + 1\)
\(P(-1) = -2 + 1 + 2 + 1\)
\(P(-1) = 2\)
उत्तर: नहीं, \(g(x)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड नहीं है (क्योंकि शेषफल 2 है)।
हल:
\(g(x) = x - 2 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 2\) मिलता है।
यदि \(P(2) = 0\) है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड होगा।
\(P(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2\)
\(P(2) = (2)^4 - (2)^3 - (2)^2 - (2) - 2\)
\(P(2) = 16 - 8 - 4 - 2 - 2\)
\(P(2) = 16 - 16 = 0\)
उत्तर: हाँ, \(g(x)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड है (क्योंकि शेषफल 0 है)।
हल:
\(g(x) = x - 1 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 1\) मिलता है।
यदि \(P(1) = 0\) है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड होगा।
\(P(x) = x^3 + 5x^2 - 5x + 1\)
\(P(1) = (1)^3 + 5(1)^2 - 5(1) + 1\)
\(P(1) = 1 + 5 - 5 + 1\)
\(P(1) = 2\)
उत्तर: नहीं, \(g(x)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड नहीं है (क्योंकि शेषफल 2 है)।
हल:
\(g(x) = x + 4 = 0\) रखने पर, हमें \(x = -4\) मिलता है।
यदि \(P(-4) = 0\) है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड होगा।
\(P(x) = x^2 + 2x - 1\)
\(P(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 1\)
\(P(-4) = 16 - 8 - 1\)
\(P(-4) = 7\)
उत्तर: नहीं, \(g(x)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड नहीं है (क्योंकि शेषफल 7 है)।
प्रश्न 3. निम्नलिखित में \(a\) का मान ज्ञात कीजिए जबकि g(x), p(x) का एक गुणनखण्ड हो-
(i) \(g(x) = x + 1\) ; \(p(x) = x^2 + ax + 2\)
(ii) \(g(x) = x - 1\) ; \(p(x) = ax^2 - 5x + 3\)
(iii) \(g(x) = x + 2\) ; \(p(x) = 2x^2 + 6x + a\)
(iv) यदि \(g (t), p (t)\) का एक गुणनखण्ड हो तो t का मान ज्ञात कीजिए-
\( g(t)=t-3; p(t)=t²+2at-2a+3 \)
(v) यदि \(g (y), p (y)\) का एक गुणनखण्ड हो तो y का मान ज्ञात कीजिए-
\( g(y)=y+5; p(y)= y²-2y+a \)
हल:
गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार:
\(g(x) = x + 1 = 0\) रखने पर, हमें \(x = -1\) मिलता है।
क्योंकि \(g(x)\) एक गुणनखंड है, इसलिये \(P(-1) = 0\) होगा।
\(P(-1) = (-1)^2 + a(-1) + 2 = 0\)
\(1 - a + 2 = 0\)
\(3 - a = 0\)
\(a = 3\)
उत्तर: \(\mathbf{a = 3}\)
हल:
\(g(x) = x - 1 = 0\) रखने पर, हमें \(x = 1\) मिलता है।
इसलिये, \(P(1) = 0\) होगा।
\(P(1) = a(1)^2 - 5(1) + 3 = 0\)
\(a - 5 + 3 = 0\)
\(a - 2 = 0\)
\(a = 2\)
उत्तर: \(\mathbf{a = 2}\)
हल:
\(g(x) = x + 2 = 0\) रखने पर, हमें \(x = -2\) मिलता है।
इसलिये, \(P(-2) = 0\) होगा।
\(P(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + a = 0\)
\(2(4) - 12 + a = 0\)
\(8 - 12 + a = 0\)
\(-4 + a = 0\)
\(a = 4\)
उत्तर: \(\mathbf{a = 4}\)
हल:
\(g(t) = t - 3 = 0\) रखने पर, हमें \(t = 3\) मिलता है।
इसलिये, \(P(3) = 0\) होगा।
\(P(3) = (3)^2 + 2a(3) - 2a + 3 = 0\)
\(9 + 6a - 2a + 3 = 0\)
\(12 + 4a = 0\)
\(4a = -12\)
\(a = -3\)
उत्तर: \(\mathbf{a = -3}\)
हल:
\(g(y) = y + 5 = 0\) रखने पर, हमें \(y = -5\) मिलता है।
इसलिये, \(P(-5) = 0\) होगा।
\(P(-5) = (-5)^2 - 2(-5) + a = 0\)
\(25 + 10 + a = 0\)
\(35 + a = 0\)
\(a = -35\)
उत्तर: \(\mathbf{a = -35}\)
हल:
दिया है, जब \(f(x)\) को \(x^2 - 9\) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल \(3x + 2\) होता है।
हम भाग एल्गोरिथ्म (Division Algorithm) से लिख सकते हैं:
भाज्य = (भाजक \(\times\) भागफल) + शेषफल
\(f(x) = (x^2 - 9) \times q(x) + (3x + 2)\)
(जहाँ \(q(x)\) कोई भागफल है)
हम \(x^2 - 9\) को \((x - 3)(x + 3)\) भी लिख सकते हैं।
\(f(x) = (x - 3)(x + 3)q(x) + (3x + 2)\)
अब, हमें \(f(x)\) को \((x - 3)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार:
भाजक = \(x - 3 = 0\), इसलिये \(x = 3\) रखने पर शेषफल \(f(3)\) होगा।
हम \(x = 3\) को मुख्य समीकरण में रखते हैं:
\(f(3) = ((3) - 3)((3) + 3)q(3) + (3(3) + 2)\)
\(f(3) = (0)(6)q(3) + (9 + 2)\)
\(f(3) = 0 + 11\)
\(f(3) = 11\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{11}\) होगा।
हल:
दिया है, जब \(f(x)\) को \(x^2 - 16\) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल \(5x + 3\) होता है।
हम भाग एल्गोरिथ्म (Division Algorithm) से लिख सकते हैं:
\(f(x) = (x^2 - 16) \times q(x) + (5x + 3)\)
(जहाँ \(q(x)\) कोई भागफल है)
हम \(x^2 - 16\) को \((x - 4)(x + 4)\) भी लिख सकते हैं।
\(f(x) = (x - 4)(x + 4)q(x) + (5x + 3)\)
अब, हमें \(f(x)\) को \((x + 4)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार:
भाजक = \(x + 4 = 0\), इसलिये \(x = -4\) रखने पर शेषफल \(f(-4)\) होगा।
हम \(x = -4\) को मुख्य समीकरण में रखते हैं:
\(f(-4) = ((-4) - 4)((-4) + 4)q(-4) + (5(-4) + 3)\)
\(f(-4) = (-8)(0)q(-4) + (-20 + 3)\)
\(f(-4) = 0 + (-17)\)
\(f(-4) = -17\)
उत्तर: शेषफल \(\mathbf{-17}\) होगा।
हल:
दिया गया व्यंजक = \(x^2 - 16\)
हम 16 को \(4^2\) लिख सकते हैं।
= \(x^2 - 4^2\)
सर्वसमिका (identity) \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) का उपयोग करने पर:
(यहाँ \(a = x\) और \(b = 4\))
= \((x - 4)(x + 4)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 4)(x + 4)}\)
हल:
दिया गया व्यंजक = \(4x^2 - 20x + 25\)
हम \(4x^2\) को \((2x)^2\) और 25 को \(5^2\) लिख सकते हैं।
= \((2x)^2 - 20x + (5)^2\)
मध्य पद \(-20x\) को \(-2(2x)(5)\) के रूप में लिख सकते हैं।
= \((2x)^2 - 2(2x)(5) + (5)^2\)
सर्वसमिका (identity) \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) का उपयोग करने पर:
(यहाँ \(a = 2x\) और \(b = 5\))
= \((2x - 5)^2\)
उत्तर: \(\mathbf{(2x - 5)^2}\)
हल:
हाँ, यह संभव है।
यह तब संभव है जब हम गुणनखंडों में एक 'संख्यात्मक अचर' (constant number) को भी गिनते हैं।
उदाहरण:
माना एक द्विघातीय बहुपद है: \(5x^2 - 80\)
सबसे पहले, हम 5 को कॉमन (common) लेते हैं:
\( = 5(x^2 - 16) \)
अब, हम \(x^2 - 16\) का गुणनखंड \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) का उपयोग करके करते हैं:
\( = 5(x - 4)(x + 4) \)
इस प्रकार, बहुपद \(5x^2 - 80\) के तीन गुणनखंड हैं: \(\mathbf{5}\), \(\mathbf{(x - 4)}\) और \(\mathbf{(x + 4)}\)।
उत्तर: हाँ, यह संभव है जब हम संख्यात्मक गुणनखंडों (constant factors) को भी शामिल करते हैं।
प्रश्न 1. निम्नलिखित बहुपदों के मध्य पद तोड़कर गुणनखण्डन कीजिए -
(1) \(x^2 - 3x - 4\)
(2) \(x^2 + 2x + 1\)
(3) \(x^2 + x - 12\)
(4) \(x^2 - 8x + 15\)
(5) \(t^2 - 4t - 21\)
(6) \(-y^2 + 35y + 156\)
(7) \(7x^2 - 2x - 5\)
(8) \(12x^2 - 24x + 12\)
(9) \(6x^2 - 7x - 3\)
(10) \(14y^2 + 19y - 3\)
(11) \(\sqrt{3}y^2 + 9y + 6\sqrt{3}\)
(12) \(144x^2 + 24x + 1\)
हल:
\(x^2 - 3x - 4\)
= \(x^2 - 4x + 1x - 4\)
= \(x(x - 4) + 1(x - 4)\)
= \((x - 4)(x + 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 4)(x + 1)}\)
हल:
\(x^2 + 2x + 1\)
= \(x^2 + x + x + 1\)
= \(x(x + 1) + 1(x + 1)\)
= \((x + 1)(x + 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x + 1)^2}\)
हल:
\(x^2 + x - 12\)
= \(x^2 + 4x - 3x - 12\)
= \(x(x + 4) - 3(x + 4)\)
= \((x + 4)(x - 3)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x + 4)(x - 3)}\)
हल:
\(x^2 - 8x + 15\)
= \(x^2 - 5x - 3x + 15\)
= \(x(x - 5) - 3(x - 5)\)
= \((x - 5)(x - 3)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 5)(x - 3)}\)
हल:
\(t^2 - 4t - 21\)
= \(t^2 - 7t + 3t - 21\)
= \(t(t - 7) + 3(t - 7)\)
= \((t - 7)(t + 3)\)
उत्तर: \(\mathbf{(t - 7)(t + 3)}\)
हल:
\(-y^2 + 35y + 156\)
= \(-1(y^2 - 35y - 156)\)
= \(-1(y^2 - 39y + 4y - 156)\)
= \(-1[y(y - 39) + 4(y - 39)]\)
= \(-1(y - 39)(y + 4)\)
= \((39 - y)(y + 4)\)
उत्तर: \(\mathbf{(39 - y)(y + 4)}\)
हल:
\(7x^2 - 2x - 5\)
= \(7x^2 - 7x + 5x - 5\)
= \(7x(x - 1) + 5(x - 1)\)
= \((x - 1)(7x + 5)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 1)(7x + 5)}\)
हल:
\(12x^2 - 24x + 12\)
= \(12(x^2 - 2x + 1)\)
= \(12(x^2 - x - x + 1)\)
= \(12[x(x - 1) - 1(x - 1)]\)
= \(12(x - 1)(x - 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{12(x - 1)^2}\)
हल:
\(6x^2 - 7x - 3\)
= \(6x^2 - 9x + 2x - 3\)
= \(3x(2x - 3) + 1(2x - 3)\)
= \((2x - 3)(3x + 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{(2x - 3)(3x + 1)}\)
हल:
\(14y^2 + 19y - 3\)
= \(14y^2 + 21y - 2y - 3\)
= \(7y(2y + 3) - 1(2y + 3)\)
= \((2y + 3)(7y - 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{(2y + 3)(7y - 1)}\)
हल:
\(\sqrt{3}y^2 + 9y + 6\sqrt{3}\)
(a*c = \(\sqrt{3} \times 6\sqrt{3} = 18\), b = 9. Numbers are 6 and 3)
= \(\sqrt{3}y^2 + 6y + 3y + 6\sqrt{3}\)
= \(\sqrt{3}y(y + 2\sqrt{3}) + 3(y + 2\sqrt{3})\)
= \((y + 2\sqrt{3})(\sqrt{3}y + 3)\)
उत्तर: \(\mathbf{(y + 2\sqrt{3})(\sqrt{3}y + 3)}\)
हल:
\(144x^2 + 24x + 1\)
= \(144x^2 + 12x + 12x + 1\)
= \(12x(12x + 1) + 1(12x + 1)\)
= \((12x + 1)(12x + 1)\)
उत्तर: \(\mathbf{(12x + 1)^2}\)
हल:
भाग 1: गुणनखंड (Factors)
दिया गया बहुपद = \(x^2 - 9\)
हम 9 को \(3^2\) लिख सकते हैं।
= \(x^2 - 3^2\)
सर्वसमिका (identity) \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) का उपयोग करने पर:
(यहाँ \(a = x\) और \(b = 3\))
= \((x - 3)(x + 3)\)
भाग 2: शून्यक (Zeros)
शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं:
\(x^2 - 9 = 0\)
\((x - 3)(x + 3) = 0\)
या तो \(x - 3 = 0\), जिससे \(x = 3\)
या \(x + 3 = 0\), जिससे \(x = -3\)
उत्तर: गुणनखंड \(\mathbf{(x - 3)(x + 3)}\) हैं, और शून्यक \(\mathbf{3}\) व \(\mathbf{-3}\) हैं।
हल:
हम जानते हैं कि यदि किसी बहुपद का शून्यक 'a' हो, तो \((x - a)\) उसका एक गुणनखंड होता है।
(i) पहला शून्यक = 4
इसलिये, पहला गुणनखंड = \((x - 4)\)
(ii) दूसरा शून्यक = -1
इसलिये, दूसरा गुणनखंड = \((x - (-1))\) = \((x + 1)\)
उत्तर: गुणनखंड \(\mathbf{(x - 4)}\) व \(\mathbf{(x + 1)}\) होंगे।
हल:
हाँ, शून्यक ज्ञात होने पर हम बहुपद ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण:
माना दो मान (शून्यक) \(\alpha = 2\) और \(\beta = 3\) हैं।
द्विघाती बहुपद बनाने का सूत्र है:
\(p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]\)
(जहाँ \(k\) एक अचर (constant) है, \(k \neq 0\))
1. शून्यकों का योग (\(\alpha + \beta\)):
\( = 2 + 3 = 5\)
2. शून्यकों का गुणनफल (\(\alpha\beta\)):
\( = 2 \times 3 = 6\)
इन मानों को सूत्र में रखने पर (माना \(k = 1\)):
\(p(x) = x^2 - (5)x + 6\)
\(p(x) = x^2 - 5x + 6\)
उत्तर: हाँ, बहुपद \(\mathbf{x^2 - 5x + 6}\) है (या \(\mathbf{k(x^2 - 5x + 6)}\))।
प्रश्न 1. नीचे ax² + bx + c रूप के कुछ द्विघातीय बहुपदों के शून्यक दिए गए हैं, तब बहुपदों के गुणनखण्ड लिखिए -
(i) शून्यक (3, 4)
(ii) शून्यक (-2, -3)
(iii) शून्यक \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)
(iv) शून्यक (15, 17)
(v) शून्यक (-18, 12)
हल:
हम जानते हैं कि यदि शून्यक \(a\) हो, तो गुणनखंड \((x - a)\) होता है।
(1) पहला शून्यक = \(3\)
पहला गुणनखंड = \((x - 3)\)
(2) दूसरा शून्यक = \(4\)
दूसरा गुणनखंड = \((x - 4)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 3)}\) व \(\mathbf{(x - 4)}\)
हल:
(1) पहला शून्यक = \(-2\)
पहला गुणनखंड = \((x - (-2)) = (x + 2)\)
(2) दूसरा शून्यक = \(-3\)
दूसरा गुणनखंड = \((x - (-3)) = (x + 3)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x + 2)}\) व \(\mathbf{(x + 3)}\)
हल:
(1) पहला शून्यक = \(\frac{1}{2}\)
पहला गुणनखंड = \((x - \frac{1}{2})\)
(2) दूसरा शून्यक = \(-\frac{1}{2}\)
दूसरा गुणनखंड = \((x - (-\frac{1}{2})) = (x + \frac{1}{2})\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - \frac{1}{2})}\) व \(\mathbf{(x + \frac{1}{2})}\)
हल:
हम जानते हैं कि यदि शून्यक \(a\) हो, तो गुणनखंड \((x - a)\) होता है।
(1) पहला शून्यक = \(15\)
पहला गुणनखंड = \((x - 15)\)
(2) दूसरा शून्यक = \(17\)
दूसरा गुणनखंड = \((x - 17)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x - 15)}\) व \(\mathbf{(x - 17)}\)
हल:
(1) पहला शून्यक = \(-18\)
पहला गुणनखंड = \((x - (-18)) = (x + 18)\)
(2) दूसरा शून्यक = \(12\)
दूसरा गुणनखंड = \((x - 12)\)
उत्तर: \(\mathbf{(x + 18)}\) व \(\mathbf{(x - 12)}\)
प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों के शून्यकों का योगफल एवं गुणनफल ज्ञात कीजिए -
(i) \(x^2 + 10x + 24\)
(ii) \(2x^2 - 7x - 9\)
(iii) \(x^2 + 11x + 30\)
(iv) \(-5x^2 + 3x + 4\)
(v) \(x^2 + x - 12\)
हल:
बहुपद \(ax^2 + bx + c\) से तुलना करने पर,
\(a = 1\), \(b = 10\), \(c = 24\)
(1) शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}\)
= \(-\frac{10}{1} = -10\)
(2) शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
= \(\frac{24}{1} = 24\)
उत्तर: योगफल \(\mathbf{-10}\), गुणनफल \(\mathbf{24}\)
हल:
बहुपद \(ax^2 + bx + c\) से तुलना करने पर,
\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = -9\)
(1) शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}\)
= \( -(\frac{-7}{2}) = \frac{7}{2}\)
(2) शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
= \(\frac{-9}{2}\)
उत्तर: योगफल \(\mathbf{\frac{7}{2}}\), गुणनफल \(\mathbf{-\frac{9}{2}}\)
हल:
बहुपद \(ax^2 + bx + c\) से तुलना करने पर,
\(a = 1\), \(b = 11\), \(c = 30\)
(1) शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}\)
= \(-\frac{11}{1} = -11\)
(2) शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
= \(\frac{30}{1} = 30\)
उत्तर: योगफल \(\mathbf{-11}\), गुणनफल \(\mathbf{30}\)
हल:
बहुपद \(ax^2 + bx + c\) से तुलना करने पर,
\(a = -5\), \(b = 3\), \(c = 4\)
(1) शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}\)
= \( -(\frac{3}{-5}) = \frac{3}{5}\)
(2) शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
= \(\frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}\)
उत्तर: योगफल \(\mathbf{\frac{3}{5}}\), गुणनफल \(\mathbf{-\frac{4}{5}}\)
हल:
बहुपद \(ax^2 + bx + c\) से तुलना करने पर,
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -12\)
(1) शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a}\)
= \(-\frac{1}{1} = -1\)
(2) शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
= \(\frac{-12}{1} = -12\)
उत्तर: योगफल \(\mathbf{-1}\), गुणनफल \(\mathbf{-12}\)
